Örneğin, hız, kuvvet, yer değiştirme gibi kavramlar vektör olarak ifade edilebilir. Bir vektör genellikle ok işareti ile gösterilir ve (x, y, z) gibi koordinatlarla tanımlanabilir.
Skaler çarpım ve vektörel çarpım, vektörlerin birbirleriyle yapabileceği farklı matematiksel işlemleri ifade eder.
Skaler Çarpım (Scalar Multiplication): Bir vektörü bir skaler (sayısal değer) ile çarpmak skaler çarpımı oluşturur. Sonuç olarak, vektörün uzunluğu artar veya azalırken yönü değişmez. Örneğin, vektörü 2 ile çarparsanız, uzunluğu iki katına çıkar.
Örnek: V = (2, 3) 2 * V = (4, 6)
Vektörel Çarpım (Vector Multiplication): Vektörler arasında farklı türde iki vektör çarpımı vardır: iç çarpım (dot product) ve dış çarpım (cross product).
İç Çarpım (Dot Product): İki vektörün iç çarpımı, vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açıya dayalı bir skaler değerdir. İç çarpım, vektörlerin benzerliklerini veya dikliklerini ölçmek için kullanılır.
Örnek: A = (1, 2) B = (3, 4) A · B = (1 * 3) + (2 * 4) = 3 + 8 = 11
Dış Çarpım (Cross Product): Dış çarpım, yalnızca üç boyutlu uzayda tanımlıdır. İki vektörün dış çarpımı, bu vektörlerin düzlemi etrafında bir çapraz ürün vektörü oluşturur. Bu çarpıma sonucunda yeni bir vektör elde edilir, bu vektör çarpımın sonucunda elde edilen vektörün uzunluğu, yönü ve doğrultusu belirler.
Örnek: X = (1, 0, 0) Y = (0, 1, 0) X × Y = (0, 0, 1)
Kısacası, skaler çarpım vektörün uzunluğunu değiştirirken yönü değiştirmezken, vektörel çarpımlar vektörlerin farklı özelliklerini ifade eder.
Vektör (Vector): Bir vektör, büyüklüğü (uzunluğu) ve yönü olan matematiksel bir nesnedir. Örneğin, bir fiziksel kuvvet vektörü, belirli bir yönde etki eden bir kuvvetin büyüklüğünü ve yönünü ifade eder. Bir vektör genellikle iki veya daha fazla sayıdan oluşur. İki boyutlu düzlemde, bir vektör iki gerçek sayı (x, y) ile temsil edilir. Üç boyutlu uzayda ise üç gerçek sayı (x, y, z) kullanılır.
Skaler Çarpım (Scalar Multiplication): Bir vektörü bir skaler (sayı) ile çarpmak, her vektör bileşenini bu sayı ile çarpar. Bu işlem sonucunda vektörün uzunluğu, orijinal vektörün uzunluğu ile çarpılan skalere göre değişir. Ancak, vektörün yönü değişmez.
Örnek: V = (2, 3) 2 * V = (4, 6)
Vektörel Çarpım (Vector Multiplication): Vektörel çarpım, vektörler arasında iki farklı işlemi ifade eder: iç çarpım (dot product) ve dış çarpım (cross product).
İç Çarpım (Dot Product): İki vektörün iç çarpımı, bu vektörlerin her bir bileşenini çarpıp toplayarak elde edilen bir skaler değerdir. İç çarpım, vektörlerin benzerliklerini veya dikliklerini anlamak için kullanılır. İki vektörün iç çarpımı, şu şekilde hesaplanır:
A · B = (a1 * b1) + (a2 * b2) + ... + (an * bn)
Burada a ve b sırasıyla iki vektörün bileşenlerini temsil eder.
Dış Çarpım (Cross Product): Dış çarpım, sadece üç boyutlu uzayda tanımlıdır. İki vektörün dış çarpımı, bu vektörlerin düzlemi etrafında bir çapraz ürün vektörü oluşturur. Bu vektör, iki vektörün yönünün ve büyüklüğünün çarpımına dayanır.
Örnek: X = (1, 0, 0) Y = (0, 1, 0) X × Y = (0, 0, 1)
Vektörler ve bu vektörlerle yapılan işlemler, matematikte ve fizikte geniş bir uygulama alanına sahiptir. Vektörler, fiziksel büyüklükleri ve nicelikleri modellemekten, grafik programlamaya, mühendislik problemlerinden bilgisayar grafiklerine kadar birçok alanda kullanılır.